B样条曲线

1.B样条曲线基础知识

主要参考CSDN博客，和B站视频，B样条曲线可以理解为如下形式：

一个由一系列基函数构成的曲线参数方程，可以将基函数理解为空间内的基，而控制点理解为各个基前方的系数；也将各个控制点理解为空间内的基，而基函数作为控制点前方的系数。

B样条曲线中，最为重要的便是基函数的计算公式：

对一个次数一定的B样条曲线来说，其每一个控制点前的基函数可以看作是同一个基函数平移得到的，如下图所示。因此，对一个次数确定的B样条曲线，关键便是求解其在作用域空间内的一个基函数。

在获得目标点坐标的前提下，B样条曲线上各个节点的坐标可以用如下表达式确立：

其中的m为对应点坐标在该区段上基函数的分段表达式，P为点的坐标。因此，求解曲线上点坐标的关键便是求解对应的基函数。基函数的非零作用域为[i, i+k+1]，因此，对于B样条曲线来说，在两个节点之间，能够影响该段的控制点数目为k+1个。

关于基函数的求解，可以参考文档，最终的坐标点求解方程可以表示为：

B样条曲线的导数公式如下，其可以表示成上一阶M矩阵的形式，因此B样条曲线的导数还可以由更低阶的B样条曲线表示，具体形式如下：

针对B样条曲线，优化的目标包括以下几点：

优化的约束设置为：

因此，该优化问题可以建模为如下二次规划问题：

针对路径与原始路径的偏差deviation，由于原始控制点是由原始路径点通过插值反运算求解得到的，因此当原始控制点不变时，原始路径不变，原始路径的偏离程度可以理解为控制点的偏移程度，可以得到如下H矩阵和g向量。

针对路径上的二阶导数，由之前关于B样条曲线中的导数推论可以得到：其中D矩阵为之前求导公式中由-1和1组成的矩阵。

类似的，针对三阶和四阶导数，可以得到

至此，可以得到二次优化问题的优化目标：

对于约束条件，则单纯定为在经过指定节点

B样条曲线中的避障问题建立，其主要可以分为如下步骤：

1. 找到曲线上距离障碍物最近的点，以及其对应的参数t。

2. 找到该点处的切线方程。

3.根据决策模块的左右避障指令来建立约束，约束条件为切线向两侧偏移一定距离。

下图中的顺序依次是：蓝-红-绿